Geometria
Abordagem básica:
Perímetros e áreas de figuras geométricas [incluindo fórmulas]
Quadrado
Área
= lado x lado (A = l x l)
Perímetro
= lado + lado + lado + lado ou 4 x lado (P
= l + l + l + l ou 4 x l)
Retângulo
Área
= comprimento x largura (A = c x l)
Perímetro
= comprimento + comprimento + largura + largura ou 2 x comprimento + 2 x
largura (P = c + c + l + l ou 2 x c + 2 x l)
Triângulo
Área
= base x altura sobre 2 (A = b x h /2)
Perímetro
= Soma de todos os lados (no caso dos triângulos retângulos, altura,
comprimento e hipotenusa)
Circunferência
Área
= raio ao quadrado x Pi (A = r2
x Pi)
Perímetro
= diâmetro x Pi ou 2 x raio x Pi (A = d x
Pi ou 2 x r x Pi)
Característica:
qualquer diâmetro (linha reta que vai de um lado ao outro da circunferência,
passando pelo centro) é um eixo de simetria.
Abordagem básica:
Áreas e volumes de sólidos de uma base e duas bases
Sólidos
de duas bases (cubo, prisma, paralelepípedo, cilindro)
Volume:
Área da base x altura (V = Ab
x h)
Área
total: Área das bases + Área lateral (AT
= 2 Ab + Al)
Sólidos
de uma base (pirâmide, cone)
Volume:
1/3 x Área da base x altura (V = 1/3 x Ab
x h)
Área
total: Área da base + área lateral (AT
= Ab + Al)
[Área
lateral = perímetro da base x geratriz (altura)]
Posições relativas
de retas e planos
Definições
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Reta:
duas letras maiúsculas ou uma minúscula (AB ou s)
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Segmento
de Reta: [AB]
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Semirreta
com origem em A: ‘AB
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Plano:
três letras maiúsculas (ABC)
Reta – Define-se com 2 pontos
Plano – Define-se com 3 pontos
Posições
relativas entre Retas
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Paralelas (não têm nenhum ponto em comum; os
pontos estão todos e sempre à mesma distância)
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Coincidentes (estão sobrepostas: todos os pontos
em comum)
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Concorrentes (têm apenas um ponto em comum)
-
Perpendiculares (concorrentes que
formam um ângulo de 90º graus)
-
Oblíquas (concorrentes que não
formam um ângulo de 90º graus)
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Complanares (no mesmo plano)
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Não Complanares (não estão no mesmo plano)
Posições
Relativas entre Planos
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Paralelos (não têm nenhum ponto em comum: os
pontos mantêm a mesma distância)
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Coincidentes (estão sobrepostos: todos os pontos
em comum)
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Concorrentes (têm um segmento de reta em comum)
-
Perpendiculares (concorrentes que
formam um ângulo de 90º graus)
-
Oblíquos (concorrentes que não
formam um ângulo de 90º graus)
Posições
relativas entre Retas e Planos
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Paralelos (não têm nenhum ponto em comum: os
pontos mantêm a mesma distância)
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Reta
Aposta ao Plano (reta contida no
plano)
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Concorrentes (têm um ponto em comum)
-
Perpendiculares (concorrentes que
formam um ângulo de 90º graus)
-
Oblíquos (concorrentes que não
formam um ângulo de 90º graus)
Classificação de
triângulos
Em
relação aos lados
Equilátero: Todos os lados iguais (um eixo de
simetria)
Isósceles: Dois lados iguais (um eixo de
simetria)
Escaleno: Todos os lados diferentes (nenhum
eixo de simetria)
Em
relação aos ângulos
Retângulo: Um ângulo reto
Acutângulo: Todos os ângulos agudos
Obtusângulo: Um ângulo obtuso
Classificação de
Quadriláteros
Quadrilátero: polígono de quatro lados
Polígono: região do plano delimitado por
segmentos de reta
Quadrado
-
Todos os lados iguais;
-
Todos os ângulos retos;
-
4 Eixos de simetria;
-
As 2 diagonais iguais bissectam-se e são perpendiculares.
Paralelogramo
-
Lados iguais e paralelos dois a dois;
-
Ângulos opostos iguais;
-
Não tem eixo de simetria;
-
As diagonais bissectam-se.
Losango
-
Todos os lados iguais;
-
Ângulos opostos iguais;
-
Tem 2 eixos de simetria;
-
Diagonais bissectam-se e são perpendiculares.
Trapézio
-
Tem sempre 2 lados paralelos;
-
Trapézios Retângulos e Escalenos não têm eixo de simetria;
-
Trapézios isósceles têm um eixo de simetria.
Retângulo
-
Lados iguais e paralelos dois a dois;
-
Todos os ângulos retos;
-
Tem 2 eixos de simetria;
-
Tem 2 diagonais iguais que se bissectam.
Soma dos ângulos internos
de um quadrilátero: 360º.
Ângulos de um
triângulo; Semelhança de triângulos
Ângulos
internos/externos
A soma dos três ângulos internos é
sempre igual a 180º.
Cada
ângulo externo somado com o interno corresponde vale 180º. Estes ângulos são suplementares: a sua soma equivale a
180º.
Relações
entre lados e ângulos do triângulo
Propriedades:
-
A lados iguais correspondem ângulos iguais e vice-versa.
-
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e vice-versa.
-
Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e vice-versa.
Regra
básica de construção de triângulos; igualdade/desigualdade triangular
-
Para se poder construir um triângulo, cada um dos seus lados têm que ser menor
que a soma da medida dos outros dois.
Diz-se
que dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos iguais.
Classificação de
Ângulos
Um
ângulo é:
-
Agudo quando menor que 90º
-
Obtuso quando maior que 90º
-
Reto quando igual a 90º
-
Raso quando igual a 180º
-
Giro quando igual a 360º
-
Nulo quando igual a 0º
Dois
ângulos são:
-
Complementares quando a sua soma é
de 90º
-
Suplementares quando a sua soma é de
180º
-
Verticalmente opostos quando se
encontram em planos paralelos [Estes ângulos são sempre iguais ou
suplementares]
Figuras semelhantes;
construção de figuras semelhantes
Figuras semelhantes: são geometricamente iguais ou uma
delas é a ampliação ou redução da outra.
Ampliação: Todas as medidas da figura inicial
são multiplicadas pelo mesmo número (diferente de um 1).
Redução: Todas as medidas da figura inicial
são divididas pelo mesmo número (diferente de 1).
Aritmética
e aritmética combinada
Conjuntos Numéricos
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Conjunto
N – Contém os números naturais:
inteiros positivos (exclui o 0).
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Conjunto
Z – Contém os números inteiros relativos:
inteiros positivos e negativos (inclui o 0).
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Conjunto
Q – Contém os números racionais:
inteiros relativos e números fracionários, positivos ou negativos (inclui o 0).
(Nota: Não confundir números decimais com dízimas infinitas: um número
decimal tem sempre um número finito de casas decimais.)
Números simétricos e
valor absoluto
Cada
número tem um simétrico: é o número
na Reta Numérica que está à mesma distância de 0, na ordem contrária. Exemplos:
3 e -3 são simétricas, tal como ½ e -½, 678 e -678, etc. Estes números têm
sempre o mesmo valor absoluto.
O
valor absoluto de um número é o
valor da distância desse número à origem: é sempre esse número positivo.
Representação de
pontos no Plano: Referencial Cartesiano
O
Referencial Cartesiano é constituído por duas retas paralelas, em que a
horizontal se chama eixo das abcissas
(x) e a vertical, eixo das ordenadas (y).
Têm quatro quadrantes definidos pelos eixos.
Nos
eixos são representados números (a cada ponto do eixo corresponde um valor),
que devem estar sempre à mesma distância, e o intervalo entre eles tem que ter
sempre o mesmo valor.
Quando
se conhecem as coordenadas de um ponto, é possível representá-lo no Referencial
Cartesiano: o primeiro número indicado é marcado no eixo x e o segundo no eixo y. As coordenadas são sempre indicadas
da seguinte forma:
A
–> (1,2). 1 será marcado no eixo x
e 2 no eixo y:
a interseção das retas originadas nestes pontos é o ponto A.
Adição e subtração
de números racionais
Regra
1: Com sinais iguais dá-se o mesmo sinal e somam-se os números.
Regra
2: Com sinais diferentes dá-se o sinal do número com maior valor absoluto e
subtraem-se os números.
Na
adição/subtração de números fracionários, primeiro reduz-se a expressão
ao mesmo denominador.
Multiplicação e
Divisão de números racionais; Prioridade das Operações
Regra
1: As operações são sempre feitas pela seguinte ordem: primeiro as expressões
dentro de parênteses, depois as divisões e multiplicações pela ordem em que
aparecem, depois as adições e subtrações pela ordem em que aparecem.
Regra 2: Se os números tiverem o
mesmo sinal, dá-se o sinal +.
Regra
3: Se os números tiverem sinais diferentes, dá-se o sinal –.
Para
multiplicar frações não se retiram os parênteses e não se reduzem as
frações ao mesmo denominador: multiplicam-se os denominadores pelos denominadores
e numeradores por numeradores.
Para
dividir frações, a primeira fração mantém-se e a segunda inverte-se (o
numerador passa a denominador e vice-versa). O sinal de dividir passa ao de
multiplicar.
Potências: Adição,
subtração, divisão e multiplicação de potências
Adição
e subtração:
Calcula-se o valor de cada potência e efetuam-se os cálculos.
Divisão
e multiplicação:
Quando não existem bases ou expoentes em comum, também se determina o valor das
potências e realizam-se os cálculos.
Critérios de
Divisibilidade por 2, 3, e 5
Por
2
->
Um número é divisível por 2 quando o seu algarismo das unidades é 0,2, 4, 6 ou
8
Por
3
->
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um múltiplo de
3.
Por
5
->
Um número é divisível por 5 quando o seu algarismo das unidades é 5 ou 0.
Números Primos e
decomposição de números em fatores primos
Números
primos são números
divisíveis apenas por 1 e por si próprios.
Os
primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53
Para
decompor um número em fatores primos, o número inicial é dividido pelo maior
número primo possível. O número resultante é novamente dividido pelo maior
primo possível e assim sucessivamente, até se obter 1.
Exemplo: 540 540|5
108|3
36|3
12|3
4|2
2|2
1
540=
5 x 33 x 22
Sequências
As
sequências são listas ordenadas de números que se relacionam entre si.
Uma
sequências de números é representada pelo seu termo geral.
Por
exemplo, 2n representa a sequência dos números pares.
n=1
=» 2 x 1 = 2
n=2
=» 2 x 2 = 4
n=3
=» 2 x 3 = 6
...
Simplificação de
expressões com incógnitas
Para
simplificar expressões com incógnitas, reduzem-se (adicionam-se, subtraem-se,
multiplicam-se ou dividem-se) os termos semelhantes (termos com a mesma parte
literal).
Exemplo:
P = 5x + 10 + 5x + 7 + x + 10 + 2x + 6 + 4x + 3x
+ 1
P = 20x + 34
Equações do 1º grau
Equação
é uma igualdade onde aparece pelo menos uma variável.
A
equação tem sempre dois membros: são
definidos pela igualdade (=). Cada um dos valores da equação é um termo.
A
solução da equação é o valor que
torna a expressão verdadeira.
Nota: Quando numa equação do 1º grau há
parênteses, quando atrás dos parênteses temos:
- Sinal positivo (+), não se alteram os
sinais dos termos que estão dentro de parênteses.
- Sinal negativo (–), todos os sinais
dentro de parênteses são trocados
- Um número, então todos os valores
dentro da equação são multipli-cados por esse número.
As
equações do 1º grau classificam-se em:
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Possíveis
determinadas: quando têm apenas uma solução;
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Possíveis
indeterminadas: quando têm infinitas soluções.
<!--[if !supportLists]-->·
<!--[endif]-->Impossíveis:
quando não têm solução.
Razão e Proporção
Razão
é uma comparação entre duas quantidades.
A
razão entre b
e a é b/a
ou b:a, em que b
é o antecedente e a
o consequente.
Proporção
é a igualdade entre duas razões.
Exemplo:
2/4 = ½ => Proporção (2 está para 4, tal como 1 está para 2)
Propriedade Fundamental
das Proporções: Numa
proporção o produto dos extremos é sempre igual ao produto dos meios.
Percentagem
Divisão
do valor em 100. Por exemplo, 68% (de algum valor), corresponde a 68 partes por
cada 100. 100% é sempre a totalidade do valor.
Para
calcular a percentagem, utiliza-se uma regra de três simples.
Exemplo:
70% de 28.
100
– 28 (100% corresponde a
28)
70
– x (70%
corresponde a x:
a incógnita que se vai calcular)
x = 28 x 70 / 100
x = 19.6
70%
de 28 é 19,6.
Proporcionalidade
Direta
Diz-se
que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre
elas é constante: têm uma relação de proporcionalidade direta.
Este
valor constante chama-se constante de
proporcionalidade direta. Se não existir esta constante não há
proporcionalidade direta.
As
relações de proporcionalidade direta são traduzidas por expressões
analíticas. Os elementos da proporção são y e x.
O valor da razão entre eles é sempre k.
Traduzido graficamente, isto significa que a proporcionalidade direta é sempre
representada, em gráficos, por uma reta que passa pela origem do referencial.
y/x= k
Numa
relação de proporcionalidade direta, há sempre dois fatores em comparação.
